Question

已知实数a，b，c满足a+b+c=2，a²+b²+c²=4，且a＞b＞c，不等式ln（a²+2a）-a≥M恒成立，则M的最大值是（　　）

• A、ln

  40

  9

  -

  4

  3

• B、ln

  16

  9

  -

  2

  3

• C、ln（8+4

  2

  ）-2

  2

• D、ln8-2

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：由a+b+c=2，得b+c=2-a①，由a²+b²+c²=4，得b²+c²=4-a²②，由柯西不等式得（b²+c²）（1+1）≥（b+c）²③，将①②代入③可求得a的范围，构造函数f（a）=ln（a²+2a）-a（

2

3

＜a≤2）．
，利用导数可求得函数f（a）的最小值．

解答： 解：由a+b+c=2，得b+c=2-a①，由a²+b²+c²=4，得b²+c²=4-a²②，
由柯西不等式，得（b²+c²）（1+1）≥（b+c）²③，
将①②代入③得，2（4-a²）≥（2-a）²，解得-

2

3

≤a≤2，
又a＞b＞c，∴3a＞a+b+c=2，∴a＞

2

3

．
∴

2

3

＜a≤2．
令f（a）=ln（a²+2a）-a（

2

3

＜a≤2）．
则f′（a）=

( 2 +a)( 2 -a)

a2+2a

，
当

2

3

＜a＜

2

时f′（a）＞0，当

2

＜a≤2时f′（a）＜0，
∴f（

2

）为极大值，也为最大值，
f（a）_min=min{f（

2

3

），f（2）}，
而f（

2

3

）=ln

16

9

-

2

3

，f（2）=ln8-2，f（

2

3

）＞f（2），
∴f（a）_min=f（2），
∴M≤ln8-2，即M的最大值为ln8-2，
故选：D．

点评：该题考查不等式的求解、函数恒成立等知识，考查学生分析问题解决问题的能力，利用已知条件求解a的范围是解决本题的关键所在．