Question

4．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的顶点A₁，B₁，C₁在同一球面上，且平面ABC经过球心，若此球的表面积为4π，则该三棱柱的侧面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出此球半径R=1，设三棱柱正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的顶点A₁，B₁，C₁所在球面的小圆的半径为r，球心到顶点A₁，B₁，C₁所在球面的小圆的距离为d，由勾股定理得r²+d²=R²=1，由此利用均值定理能求出该三棱柱的侧面积的最大值．

解答 解：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的顶点A₁，B₁，C₁在同一球面上，
且平面ABC经过球心，此球的表面积为4π，
∴此球半径R=1，
如图，设三棱柱正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的顶点
A₁，B₁，C₁所在球面的小圆的半径为r，
球心到顶点A₁，B₁，C₁所在球面的小圆的距离为d，
则r²+d²=R²=1，
∴该三棱柱的侧面积：
S=3×$\sqrt{3}×r×d$≤3$\sqrt{3}$×$\frac{{r}^{2}+{d}^{2}}{2}$=3$\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴该三棱柱的侧面积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查三棱柱、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．