Question

9．已知数列{a_n}满足递推关系：a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，a₁=$\frac{1}{2}$，则a₂₀₁₇=（　　）

• A． $\frac{1}{2016}$
• B． $\frac{1}{2017}$
• C． $\frac{1}{2018}$
• D． $\frac{1}{2019}$

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，a₁=$\frac{1}{2}$，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，a₁=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1．
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为2，公差为1．
∴$\frac{1}{{a}_{2017}}$=2+2016=2018．
则a₂₀₁₇=$\frac{1}{2018}$．
故选：C．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．