Question

若存在正整数T，对于任意正整数n都有a_n+T=a_n成立，则称数列{a_n}为周期数列，周期为T．已知数列{a_n}满足a₁=m（m＞0），a_n+1=

an-1，an＞1 1 an ，0＜an≤1

，关于下列命题：
①当m=

3

4

时，a₅=2
②若m=

2

，则数列{a_n}是周期为3的数列；
③对若a₂=4，则m可以取3个不同的值；
④?m∈Q且m∈[4，5]，使得数列{a_n}是周期为6．
其中真命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：①，当m=

3

4

时，分别求得a₂、a₃、a₄、a₅、即可判断①；
②，若m=

2

，可求得a₂、a₃、a₄，从而可判断②；
③，若a₂=4，依题意得

a1＞1 a2=a1-1

或

0＜a1≤1 a2= 1 a1

，可求得，a₁=5或

1

4

，又a₁=m，从而可判断③；
④，分m=4或5与m∈（4，5）讨论，可判断④．

解答： 解：对于①，当m=-

3

4

时，a₂=

4

3

，a₃=

1

3

，a₄=3，a₅=2，故①为真；
对于②，当m=

2

时，a₂=

2

-1，a₃=

2

+1，a₄=

2

=a₁，故②为真；
对于③，由题意得

a1＞1 a2=a1-1

或

0＜a1≤1 a2= 1 a1

，∵a₂=4，
∴a₁=5或

1

4

，又a₁=m，∴m=5或

1

4

，故③假；
对于④，当m=4或5时，显然数列{a_n}不是周期数列，当m∈（4，5）时，要使数列{a_n}是周期数列，必须a₇=a₁，
由a₂=m-1，a₃=m-2，a₄=m-3，a₅=m-4，a₆=

1

m-4

，a₇=

1

m-4

-1，
即

1

m-4

-1=m，此时m∉Q，故④为假命题，
故选：B．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查数列的递推关系的理解与应用，考查函数的周期性与解方程的能力，属于难题．