Question

在△ABC中，给出下列结论：
（1）若a，b，c成等差数列，则∠B的最大值是

π

3

；
（2）若a，b，c成等比数列，则∠B的最大值是

π

3

；
（3）若A，B，C成等比数列，则∠B的最大值是

π

3

．
其中正确的命题个数是

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的性质、余弦定理和基本不等式、余弦函数的单调性即可得出；
（2）利用等比数列的性质、余弦定理和基本不等式、余弦函数的单调性即可得出；
（3）利用等比数列的性质、基本不等式、三角形内角和定理即可得出．

解答： 解：在△ABC中：
（1）若a，b，c成等差数列，则2b=a+c，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

≥

(a+c)2 2 - (a+c)2 4

2ac

=

(a+c)2

8ac

≥

4ac

8ac

=

1

2

，
当且仅当a=c=b时取等号．
又∵0＜B＜π，
∴0＜B≤

π

3

．
∴∠B的最大值是

π

3

，因此正确．
（2）若a，b，c成等比数列，则b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
当且仅当a=c=b时取等号．
又∵0＜B＜π，
∴0＜B≤

π

3

．
∴∠B的最大值是

π

3

，因此正确．
（3）若A，B，C成等比数列，则B²=AC，
又A+C=π-B，
∴π-B≥2

AC

=2

B2

=2B，当且仅当A=C时取等号．
∴B≤

π

3

，
因此∠B的最大值是

π

3

．
故正确．
综上可知：（1）（2）（3）都正确．
故答案为：（1）（2）（3）．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的性质、余弦定理和基本不等式、余弦函数的单调性、三角形的内角和定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．