Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（2x+\frac{π}{3}）-{cos^2}x+\frac{1}{2}$（x∈R），则下列说法正确的是（　　）

• A． 函数f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$
• B． 函数f（x）的图象关于y轴对称
• C． 点$（\frac{π}{6}，0）$为函数f（x）图象的一个对称中心
• D． 函数f（x）的最大值为$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 化函数f（x）为正弦型函数，再依次判断选项中的命题是否正确．

解答 解：函数f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（2x+\frac{π}{3}）-{cos^2}x+\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（sin2xcos$\frac{π}{3}$+cos2xsin$\frac{π}{3}$）-$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$cos2x
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）（x∈R），
由ω=2知，f（x）的最小正周期为π，A错误；
由f（0）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{4}$不是最值，
∴f（x）的图象不关于y轴对称，B错误；
由f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{π}{2}$=$\frac{1}{2}$≠0，
∴点$（\frac{π}{6}，0）$不是函数f（x）图象的一个对称中心，C错误；
由sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，∴f（x）的最大值是$\frac{1}{2}$，D正确．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．