Question

已知函数f（x）=x+

1

x

（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义判断f（x）在（0，1）上的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出函数的定义域，然后直接利用函数奇偶性的定义证明；
（2）直接利用函数单调性的定义加以证明．

解答： （1）解：f（x）=x+

1

x

为定义域内的奇函数．
证明如下：
∵函数f（x）=x+

1

x

的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f（-x）=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
∴f（x）=x+

1

x

为定义域内的奇函数；
（2）证明：设x₁，x₂是（0，1）内的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)-

x1-x2

x1x2

=(x1-x2)(1-

x1-x2

x1x2

)．
∵x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，
∴x1-x2＜0，1-

1

x1x2

＜0．
则(x1-x2)(1-

1

x1x2

)＞0．
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上为减函数．

点评：本题考查了函数奇偶性和单调性的判定方法，关键是对于步骤的写法，是基础题．