Question

（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数的最小值为a.

（1）求a；

（2）已知两个正数m，n满足，求的最小值.

Answer 1

（1）a＝1；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查分段函数、函数最值、均值定理等基础知识，同时考查分析问题解决问题的能力、运算求解能力. 第一问，先利用零点分段法去掉绝对值符号，使之转化为分段函数，再根据函数的单调性确定最小值的位置，解出a的值；第二问，利用第一问的结论，两次利用均值不等式计算的最小值.

试题解析：（Ⅰ），

当x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减，

当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，

所以当x＝0时，f(x)的最小值a＝1． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2＋n2＝1，由m2＋n2≥2mn，得，

则，当且仅当时取等号．

所以的最小值为． …10分

考点：分段函数、函数最值、均值定理.