已知实数x.y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y≥x-1\\ x+y≤4\end{array}\right.$.目标函数z=x+y.则当z=3时.x2+y2的取值范围是( )A．$[\frac{{3\sqrt{2}}}{2}.\sqrt{5}]$B．$[\frac{{3\sqrt{2}}}{2}.5]$C．$[\frac{9}{2}.5]$D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

13．已知实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y≥x-1\\ x+y≤4\end{array}\right.$，目标函数z=x+y，则当z=3时，x²+y²的取值范围是（　　）

A．

$[\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{5}]$

B．

$[\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，5]$

C．

$[\frac{9}{2}，5]$

D．

$[\sqrt{5}，\frac{9}{2}]$

分析作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论

解答解：作出不等式对应的平面区域，
当目标函数z=x+y，则当z=3时，即x+y=3时，作出此时的直线，
则x²+y²的几何意义为动点P（x，y）到原点的距离的平方，
当直线x+y=3与圆x²+y²=r²相切时，距离最小，
即原点到直线x+y=3的距离d=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，即最小值为d²=$\frac{9}{2}$，
当直线x+y=3与圆x²+y²=r²相交与点B或C时，距离最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=3}\end{array}\right.$，解得x=1，y=2，即B（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，解得x=2，y=1，即C（2，1）
此时r²=x²+y²=2²+1²=5，
故选：C．

点评本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

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