已知曲线C的极坐标方程是ρ=2.以极点为原点.极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$．(1)写出直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程(2)设曲线C经过伸缩� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程
（2）设曲线C经过伸缩变换$\left\{{\begin{array}{l}{x'=x}\\{y'=2y}\end{array}}\right.$，得到曲线C'，设曲线C'上任一点M（x₀，y₀），求M到的直线l的距离的最大值．

分析（1）把已知极坐标方程两边平方，即可求得曲线C的普通方程，消去参数t，即可求得直线的直角坐标方程；
（2）求出伸缩变换后的曲线C'的方程，再求出与已知直线平行且与椭圆相切的直线方程，由平行线间的距离公式求得答案．

解答解：（1）由ρ=2，得ρ²=4，即x²+y²=4．
∴曲线C的普通方程为x²+y²=4；
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{1}{2}t①}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t②}\end{array}\right.$，由①得：t=2$\sqrt{3}-2x$，
代入②得：$y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}（2\sqrt{3}-2x）$，整理得：$\sqrt{3}x+y-4=0$；
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{x'=x}\\{y'=2y}\end{array}}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=x′}\\{y=\frac{1}{2}y′}\end{array}\right.$，代入x²+y²=4，得$（x′）^{2}+（\frac{1}{2}y′）^{2}=4$，
即$\frac{（y′）^{2}}{16}+\frac{（x′）^{2}}{4}=1$，
∴曲线C'是焦点在y轴上的椭圆，方程为$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$．
设与$\sqrt{3}x+y-4=0$平行的直线方程为$\sqrt{3}x+y+m=0$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，得$7{x}^{2}+2\sqrt{3}mx+{m}^{2}-16=0$．
由△=12m²-28（m²-16）=0，解得m=$±2\sqrt{7}$．
当m=$2\sqrt{3}$时，直线方程为$\sqrt{3}x+y+2\sqrt{3}=0$，此时直线与椭圆的切点到直线$\sqrt{3}x+y-4=0$的距离最大，为$\frac{|2\sqrt{3}+4|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}=2+\sqrt{3}$．