Question

设函数f（x）=

ex， x≤0 lnx， x＞0

，若对任意给定的a∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=ma²+2m²a，则正实数m的最小值是（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、

  3

  2

• D、2

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：讨论x的取值，求出f（（x））：0＜x≤1时，f（f（x））=x≤1，x＞1时，f（f（x））=ln（lnx）∈R，则要满足对任意给定的a∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=ma²+2m²a，需要ma²+2m²a＞1，因为a＞1，所以只需m+2m²≥1，解该不等式即可得m的最小值．

解答： 解：由已知条件知：ma²+2m²a＞0；
∴若x≤0，则f（x）=e^x＞0，∴f（f（x））=lne^x=x≤0，∴这种情况不存在；
若0＜x≤1，则f（x）=lnx≤0，∴f（f（x））=e^lnx=x≤1，x＞1时，f（x）=lnx＞0，f（f（x）=ln（lnx）∈R；
∴只有f（f（x））＞1，即ma²+2m²a＞1时，对任意给定的a∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=ma²+2m²a；
∵a∈（1，+∞），∴m+2m²≥1，即2m²+m-1≥0，∵m＞0，∴解得m≥

1

2

；
∴正实数m的最小值是

1

2

．
故选A．

点评：考查根据分段函数求在某一区间上的函数解析式及复合函数解析式，解一元二次不等式．