Question

已知f（x）=（

1

9

）^x-2a（

1

3

）^x+3．x∈[-1，1]．
（1）若f（x）的最小值记h（a），求h（a）的解析式；
（2）是否存在实数m，n同时满足以下条件：①log₃m＞log₃n＞1；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n²，m²]；若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令t=(

1

3

)x，利用换元法，可将已知函数化为一个二次函数，根据二次函数在定区间上的最值问题，即可得到h（a）的解析式．
（2）由（1）中h（a）的解析式，易得在h（a）在（3，+∞）上为减函数，进而根据h（a）的定义域为[n，m]时值域为[n²，m²]构造关于m，n的不等式组，如果不等式组有解，则存在满足条件的m，n的值；若无解，则不存在满足条件的m，n的值．

解答： 解：（1）令t=(

1

3

)x，∵x∈[-1，1]．∴t∈[

1

3

，3]，
则h（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，对称轴t=a．
讨论 ①当a＜

1

3

时，h（a）=g（t）_min=g（

1

3

）=-

2a

3

+

28

9

，
②当

1

3

≤a≤3时，h（a）=g（t）_min=g（a）=3-a²，
③当a＞3时，h（a）=g（t）_min=g（3）=12-6a，
∴h(a)=

- 2a 3 + 28 9 ，a＜ 1 3 -a2+3， 1 3 ≤a≤3 -6a+12，a＞3

（2）因为h（a）=12-6a在（3，+∞）上为减函数，而m＞n＞3
∴h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]，
∵h（a）在[n，m]上的值域为[n²，m²]，
∴h（m）=n²  h（n）=m²
即：12-6m=n²  12-6n=m²，
两式相减得：6（m-n）=（m-n）（m+n），
又m＞n＞3∴m+n=6，而m＞n＞3时有m+n＞6，矛盾．
故满足条件的实数m，n不存在

点评：本题主要考查函数解析式的求解，利用换元法是解决本题的关键．要求熟练掌握二次函数的图象和性质