Question

12．已知z₁∈C，z₁+2i和$\frac{{z}_{1}}{2-i}$都是实数．
（1）求复数z₁；
（2）设z₂=-$\frac{{z}_{1}}{2+4i}$+cosx，z₃=1-isinx（x∈R），求|z₂-z₃|的最小值．

Answer 1

分析 （1）z₁ =a+bi，a、b∈R，由题意利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得a、b的值，可得z₁．
（2）先利用两个复数代数形式的乘除法法则化简z₂，可得z₂-z₃，从而求得|z₂-z₃|的解析式，利用二次函数的性质求得它的最小值．

解答 解：（1）∵z₁∈C，z₁+2i和$\frac{{z}_{1}}{2-i}$都是实数，设z₁ =a+bi，a、b∈R，
则z₁+2i=a+（b+2）i∈R，$\frac{{z}_{1}}{2-i}$=$\frac{a+bi}{2-i}$=$\frac{（a+bi）（2+i）}{5}$=$\frac{2a-b+（a+2）i}{5}$∈R，
可得b+2=0，且a+2=0，求得a=-2，b=-2，∴z₁=-2-2i．
（2）∵z₂=-$\frac{{z}_{1}}{2+4i}$+cosx=$\frac{2+2i}{2+4i}$=$\frac{1+i}{1+2i}$=$\frac{（1+i）（1-2i）}{5}$=$\frac{3-i}{5}$，
z₃=1-isinx，
∴z₂-z₃ =$\frac{3-i}{5}$-1+isinx=-$\frac{2}{5}$+（sinx-$\frac{1}{5}$），
∴|z₂-z₃|=$\sqrt{{（-\frac{2}{5}）}^{2}{+（sinx-\frac{1}{5}）}^{2}}$，故当sinx=$\frac{1}{5}$时，|z₂-z₃|取得最小值为$\frac{2}{5}$．

点评 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，求复数的模，二次函数的性质，属于基础题．