Question

2．过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的准线上动点M引圆O：x²+y²=b²的两条切线MA，MB．其中A，B分别为切点，若存在点M，使△ABM为正三角形，则该椭圆的离心率的取值集合为{$\frac{\sqrt{2}}{2}$}．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求解直角三角形得到OM的值为2b，由2b≥$\frac{{a}^{2}}{c}$，转化为关于e的不等式得答案．

解答 解：如图
不妨取椭圆右准线上的点M，
∵△ABM为正三角形，∴∠OMB为30°，
在Rt△OBM中，可得OM=2b，
由2b≥$\frac{{a}^{2}}{c}$，可得$4{b}^{2}≥\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$，
即$4（{a}^{2}-{c}^{2}）≥\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$，化为4e⁴-4e²+1≤0，
得（2e²-1）²≤0，2e²-1=0，
解得：$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴该椭圆的离心率的取值集合为{$\frac{\sqrt{2}}{2}$}．
故答案为：{$\frac{\sqrt{2}}{2}$}．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．