Question

（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（1）证明：AP⊥BC；
（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）见解析    （2）存在，3

以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，
则O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4）
（1）则=（0，3，4），=（﹣8，0，0）
由此可得•=0
∴⊥
即AP⊥BC
（2）设=λ，λ≠1，则=λ（0，﹣3，﹣4）
=+=+λ=（﹣4，﹣2，4）+λ（0，﹣3，﹣4）
=（﹣4，5，0），=（﹣8，0，0）
设平面BMC的法向量=（a，b，c）
则

令b=1，则=（0，1，）
平面APC的法向量=（x，y，z）
则
即
令x=5
则=（5，4，﹣3）
由=0
得4﹣3=0
解得λ=
故AM=3
综上所述，存在点M符合题意，此时AM=3