Question

如图，在正方体中，，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面；
（3）设为正方体棱上一点，给出满足条件的点的个数，并说明理由.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）在正方体棱上使得的点有12个.

试题分析：（1）求证：平面平面，证明两平面垂直，只需证明一个平面过另一个平面的垂线，注意到本题是一个正方体，因此可证平面即可；（2）求证：平面，证明线面平行，即证线线平行，即在平面内找一条直线与平行，注意到为的中点，为的中点，可连接，，设，连接，证明即可，即证四边形是平行四边形即可；（3）设为正方体棱上一点，给出满足条件的点的个数，由（2）可知，，且，故点符合，有正方体的特征，可知，，故是点到的最短距离，故这样的点就一个，同理在其他棱上各有一个，故可求出满足条件的点的个数．
（1）在正方体中，
因为 平面，平面，
所以平面平面.                                   4分
（2）证明：连接，，设，连接.
因为为正方体，
所以 ，且，且是的中点，
又因为是的中点，
所以 ，且，
所以 ，且，
即四边形是平行四边形，
所以，                                                 6分
又因为 平面，平面，
所以 平面.                                         9分

（3）满足条件的点P有12个.                            12分
理由如下：
因为 为正方体，，
所以 .
所以 .                                      13分
在正方体中，
因为 平面，平面，
所以 ，又因为 ，所以 ， 
则点到棱的距离为，
所以在棱上有且只有一个点（即中点）到点的距离等于，
同理，正方体每条棱的中点到点的距离都等于，
所以在正方体棱上使得的点有12个.     14分