Question

4．已知函数f（x）=sin（${\frac{π}{2}$x）-1-log_ax（{0＜a＜1）至少有5个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{7}}{7}$）
• B． （$\frac{\sqrt{7}}{7}$，1）
• C． （$\frac{\sqrt{5}}{5}$，1）
• D． （0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）

Answer 1

分析 若使f（x）=sin（${\frac{π}{2}$x）-1-log_ax至少有5个零点，则只需使函数h（x）与函数g（x）至少有5个交点；从而利用数形结合的思想方法求解即可．

解答 解：若使f（x）=sin（${\frac{π}{2}$x）-1-log_ax至少有5个零点，
则只需使函数f（x）与函数g（x）至少有5个交点；
作函数h（x）=-sin（${\frac{π}{2}$x）-1与g（x）=log_ax的图象如下，
，
结合图象可知，$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{lo{g}_{a}7＞-2}\end{array}\right.$，
解得，0＜a＜$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
故选：A．

点评 本题考查了函数的零点与函数的图象的交点的关系应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题．