Question

9．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的渐近线与圆${（{x-2\sqrt{2}}）^2}+{y^2}=\frac{8}{3}$相切，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程，由圆的方程可得其圆心坐标以及半径，由双曲线的渐近线与圆相切，则有$\frac{2\sqrt{2}b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}}$，变形可得3a²=2c²，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，由离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，即bx±ay=0，
圆${（{x-2\sqrt{2}}）^2}+{y^2}=\frac{8}{3}$的圆心为（2$\sqrt{2}$，0），半径为$\sqrt{\frac{8}{3}}$，
若双曲线的渐近线与圆相切，则有$\frac{2\sqrt{2}b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}}$，
化简可得3a²=2c²，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
则其离心率e=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
故选：A．

点评 本题考查双曲线的几何性质，