题目内容
19．
某沿海四个城市A、B、C、D的位置如图所示，其中∠ABC=60°，∠BCD=135°，AB=80nmile，$BC=40+30\sqrt{3}$nmile，$CD=250\sqrt{6}$nmile．现在有一艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，则收到指令时该轮船到城市C的距离是100nmile．
分析 求出AD，可得∠DAC=90°，即可得出结论．
解答 解：由题意，AC=$\sqrt{6400+1600+2700+2400\sqrt{3}-2×80×（40+30\sqrt{3}）×\frac{1}{2}}$=50$\sqrt{3}$nmile，
60min后，轮船到达D′，AD′=50×1=50nmile
∵$\frac{50\sqrt{3}}{80}$=$\frac{50\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$∴sin∠ACB=$\frac{4}{5}$，
∴cos∠ACD=cos（135°-∠ACB）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴AD=$\sqrt{7500+62500×6-2×50\sqrt{3}×250\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{10}}$=350$\sqrt{3}$，
∴cos∠DAC=$\frac{7500+122500×3-62500×6}{2×50\sqrt{3}×350\sqrt{3}}$=0，∴∠DAC=90°，
∴CD′=$\sqrt{2500+7500}$=100，
故答案为100．
点评 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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9．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的渐近线与圆${（{x-2\sqrt{2}}）^2}+{y^2}=\frac{8}{3}$相切，则该双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$ | B． | $\frac{3}{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 3 |
如图，以锐角△ABC的边BC为直径的半圆分别与AC、AB交于点D、E，BD、CE的交点为H，且BC=2．
9．设F是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点，P是C上的点，圆x2+y2=$\frac{{a}^{2}}{9}$与线段PF交于A、B两点，若A、B三等分线段PF，则C的离心率为（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{5}}{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{10}}{4}$ | D． | $\frac{\sqrt{17}}{5}$ |