在平面直角坐标系xoy中.已知圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$.直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=5-2t}\\{y=3-t}\end{array}}\right.$．(Ⅰ)以原点O为极点.x轴的非负半轴为极轴.单位长� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=5-2t}\\{y=3-t}\end{array}}\right.$（t为参数），定点P（1，1）．
（Ⅰ）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l与圆C相交于A，B两点，求||PA|-|PB||的值．

分析（Ⅰ）由圆的参数方程求出圆C的一般方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）依题意得点P（1，1）在直线l上，从而直线l的参数方程又可以表示为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-2t}\\{y=1-t}\end{array}}\right.$（t为参数），代入圆C的一般方程，得5t²-2t-3=0，设点A，B分别对应的参数为t₁，t₂，由此能求出||PA|-|PB||的值．

解答解：（Ⅰ）依题意得圆C的一般方程为（x-1）²+y²=4，
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得ρ²-2ρcosθ-3=0，
所以圆C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-3=0．…（4分）
（Ⅱ）依题意得点P（1，1）在直线l上，
所以直线l的参数方程又可以表示为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-2t}\\{y=1-t}\end{array}}\right.$（t为参数），
代入圆C的一般方程为（x-1）²+y²=4，得5t²-2t-3=0，
设点A，B分别对应的参数为t₁，t₂，
则${t_1}+{t_2}=\frac{2}{5}＞0，{t_1}{t_2}=-\frac{3}{5}＜0$，
所以t₁，t₂异号，不妨设t₁＞0，t₂＜0，
所以$|{PA}|=\sqrt{5}{t_1}，|{PB}|=-\sqrt{5}{t_2}$，
所以$|{|{PA}|-|{PB}|}|=\sqrt{5}（{{t_1}+{t_2}}）=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．…（10分）