题目内容
17．已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，则xy的取值范围是（ ）| A． | [$\frac{1}{9}$，$\frac{4}{9}$] | B． | [$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$] | C． | [$\frac{2}{9}$，$\frac{1}{2}$] | D． | [$\frac{2}{9}$，$\frac{1}{4}$] |
分析 利用已知条件推出x+y=1，然后利用x，y的范围，利用基本不等式求解xy的最值．
解答 解：D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，
可得x+y=1，x，y∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]，
则xy≤$（\frac{x+y}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，当且仅当x=y=$\frac{1}{2}$时取等号，
并且xy=x（1-x）=x-x2，函数的开口向下，对称轴为：x=$\frac{1}{2}$，当x=$\frac{1}{3}$或x=$\frac{2}{3}$时，取最小值，
xy的最小值为：$\frac{2}{9}$．
则xy的取值范围是：[$\frac{2}{9}$，$\frac{1}{4}$]．
故选：D．
点评 本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
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| A． | $\frac{5}{6}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{6}$ |
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| A． | $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$ | B． | $\frac{3}{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 3 |