Question

3．已知双曲线E的左，右顶点为A，B，点C在E上，AB=BC，且∠BCA=30°，则E的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），由题意知，AB=2a，运用等腰三角形的定义可得∠CBA=120°，运用三角函数的定义可设C（2a，$\sqrt{3}$a），代入双曲线的方程，可得a=b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由题意知，AB=2a，
又△ABC中，BC=AB=2a，∠BCA=30°，
可得∠CBA=120°，
由题意可设C（2a，$\sqrt{3}$a），
代入双曲线的方程可得$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即有a=b，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用等腰三角形的定义和三角函数的定义，运用点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．