Question

9．函数$y=\frac{sinθ-3}{cosθ+2}，θ∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$的值域为（　　）

• A． $[{-2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，-2+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$
• B． $[{-2，-2+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}}]$
• C． [-2，-1]
• D． $[{-2，-2+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$

Answer 1

分析 把函数y 看成P（cosθ，sinθ）与A（-2，3）两点连线的斜率，P点的轨迹是圆心为原点的单位圆的一部分，
求出直线PA与圆相切时的斜率，结合图形可得函数y的值域．

解答 解：记P（cosθ，sinθ），A（-2，3），
则y=k_PA=$\frac{sinθ-3}{cosθ+2}$，θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]；
其中P点的轨迹是圆心为原点的单位圆的一部分，
如图所示：

当直线PA与圆相切时，设切线方程为y-3=k（x+2），
即 kx-y+2k+3=0，由d=$\frac{|2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得 k=-2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，或 k=-2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（不合题意，舍去），
当直线PA过点M（0，-1）时，k=$\frac{3-（-1）}{-2-0}$=-2，
综上，y=k_PA∈[-2，-2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]，
即函数$y=\frac{sinθ-3}{cosθ+2}，θ∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$的值域为[-2，-2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．
故选：D．

点评 本题考查了直线的斜率公式，点到直线的距离公式的应用问题，体现了数形结合和转化的数学思想．