Question

2．设函数f（x）=e^x（lnx+1）在[$\frac{1}{e^2}$，1]上的最小值为m，则ln|m|的值是（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{e}$
• C． $\frac{1}{e^2}$
• D． 1

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，得到f（x）在[$\frac{1}{e^2}$，1]上递增，从而求出m的值，代入ln|m|计算即可．

解答 解：$f'（x）={e^x}（{lnx+\frac{1}{x}+1}）$，
令$g（x）=lnx+\frac{1}{x}+1$，
∴$g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，
∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴g（x）≥g（1）=2＞0，∴f'（x）＞0，
∴f（x）在$[{\frac{1}{e^2}，\;\;1}]$上为增函数，
∴$m=f（{\frac{1}{e^2}}）=-{e^{\frac{1}{e^2}}}$，
∴$ln|m|=\frac{1}{e^2}$，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及对数函数的性质，是一道中档题．