Question

如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC

∥ =

1

2

AD，BE

∥ =

1

2

AF
（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；
（Ⅱ）若AB=BC=BE
①求BD与平面ADE所成角的正弦值
②求二面角A-ED-B余弦值的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面的基本性质及推论,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）设G，H分别为FA，FD的中点，由已知得四边形BCHG是平行四边形，从而EC，FH共面．又点D在直线FH上，由此能证明C，D，F，E四点共面．
（Ⅱ）①：由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平面ABCD，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出BD与平面ADE所成角的正弦值．
②

BE

=（0，0，a），

BD

=（-a，2a，0），设平面BDE的法向量

p

=（x₁，y₁，z₁），由此能求出二面角A-ED-B余弦值的大小．

解答： （Ⅰ）证明：设G，H分别为FA，FD的中点，
∵FG=GA，FH=HD
∴GH

∥

.

1

2

AD，又BC

∥

.

1

2

AD，故GH

∥

.

BC，
∴四边形BCHG是平行四边形，∴BG∥CH．
∵BE

∥ =

1

2

AF，G是FA的中点，
∴BE

∥

.

GF，∴EF∥BG
∴EF∥CH，∴EC，FH共面．又点D在直线FH上
∴C，D，F，E四点共面．
（Ⅱ）①解：由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平面ABCD，
以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，
建立如图所示的直角坐标系A-xyz，
设AB=BC=BE=a，
则由题设得A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），
D（0，2a，0），E（a，0，a），G（0，0，a），H（0，a，a），

BD

=（-a，2a，0），

AD

=（0，2a，0），

AE

=（a，0，a），
设平面ADE的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • AD =2ay=0 n • AE =ax+az=0

，∴

n

=（1，0，-1），
设BD与平面ADE所成角为θ，
sinθ=|cos＜

BD

，

n

＞|=|

-a

5a2 • 2

|=

10

10

，
BD与平面ADE所成角的正弦值为

10

10

．
②解：

BE

=（0，0，a），

BD

=（-a，2a，0），
设平面BDE的法向量

p

=（x₁，y₁，z₁），
由

p • BE =az1=0 p • BD =-ax1+2ay1=0

，得

p

=（2，1，0），
∴cos＜

n

，

p

＞=

2

2 • 5

=

10

5

．
∴二面角A-ED-B余弦值的大小为

10

5

．

点评：本题考查四点共面的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．