Question

15．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1+k，则f（x）=x³-kx²-2x+1的极大值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 3
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 根据等比数列的性质求出k的值，从而求出f（x）的解析式，根据函数的单调性求出f（x）的极大值即可．

解答 解：根据S_n=2^n-1+k，得到a₁=k，S_n-1=2^n-2+k，
∴a_n=S_n-S_n-1=（2^n-1+k）-（2^n-2+k）=2^n-1-2^n-2=2^n-2（2-1）=2^n-2，n≥2，
再根据{a_n}是等比数列，所以{a_n}是以$\frac{1}{2}$为首项，2为公比的等比数列，
则k的值为-$\frac{1}{2}$，
f（x）=x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+1，
f′（x）=3x²+x-2=（3x-2）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2}{3}$或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜$\frac{2}{3}$，
故f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，$\frac{2}{3}$）递减，在（$\frac{2}{3}$，+∞）递增，
故f（x）的极大值是f（-1）=$\frac{5}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查等比数列的性质，是一道中档题．