Question

15．在国际风帆比赛中，成绩以低分为优胜，比赛共11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次．在一次国际风帆比赛中，前7场比赛结束后，排名前8位的选手积分如表：

运动员	比赛场次											总分
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
A	3	2	2	2	4	2	6					21
B	1	3	5	1	10	4	4					28
C	9	8	6	1	1	1	2					28
D	7	8	4	4	3	1	8					35
E	3	12	5	8	2	7	5					42
F	4	11	6	9	3	6	8					47
G	10	12	12	8	12	10	7					71
H	12	12	6	12	7	12	12					73

（1）根据表中的比赛数据，比较A与B的成绩及稳定情况；
（2）从前7场平均分低于6.5的运动员中，随机抽取2个运动员进行兴奋剂检查，求至少1个运动员平均分不低于5分的概率．
（3）请依据前7场比赛的数据，预测冠亚军选手，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由表格中的数据，我们可以分别求出运动员A和B前7场比赛积分的平均数和方差，作为度量两运动员比赛的成绩及稳定性的依据．从平均分和积分的方差来看，运动员A的平均积分及积分的方差都比运动员B的小，也就是说，在前7场比赛过程中，运动员A的成绩最为优秀，且表现也最为稳定．
（2）表中平均分低于6.5分的运动员共有5个，其中平均分低于5分的运动员有3个，平均分不低于5分且低于6.5分的运动员有职有2个，从这5个数据中任取2个，至少1个运动员平均分不低于5分的对立事件是取到的两人的平均分都低于5分，由此能求出至少1个运动员平均分不低于5分的概率．
（3）尽管此时还有4场比赛没有进行，但这里我们可以假设每位选手在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同，因而可以把前7场比赛的成绩看作总体的一个样本，由此能求出结果．

解答 解：（1）由表格中的数据，我们可以分别求出运动员A和B前7场比赛积分的平均数和方差，
作为度量两运动员比赛的成绩及稳定性的依据．
运动员A的平均分$\overline{{x}_{1}}$=$\frac{1}{7}×21$=3，
方差${{S}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{7}$[（3-3）²+（2-3）²+（2-3）²+（2-3）²+（2-3）²+（4-3）²+（6-3）²]=2；
运动员B的平均分$\overline{{x}_{2}}$=$\frac{1}{7}×28$=4，
方差${{S}_{2}}^{2}$=$\frac{1}{7}$[（1-4）²+（1-4）²+（3-4）²+（5-4）²+（10-4）²+（4-4）²+]（4-4）²]=8，
从平均分和积分的方差来看，运动员A的平均积分及积分的方差都比运动员B的小，
也就是说，在前7场比赛过程中，运动员A的成绩最为优秀，且表现也最为稳定．
（2）表中平均分低于6.5分的运动员共有5个，其中平均分低于5分的运动员有3个，
平均分不低于5分且低于6.5分的运动员有职有2个，
从这5个数据中任取2个，基本事件总数n=${C}_{5}^{2}=10$，
至少1个运动员平均分不低于5分的对立事件是取到的两人的平均分都低于5分，
∴至少1个运动员平均分不低于5分的概率p=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$．
（3）尽管此时还有4场比赛没有进行，但这里我们可以假设每位选手在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同，
因而可以把前7场比赛的成绩看作总体的一个样本，并由此估计每位运动员最后的成绩，
从已结束的7场比赛的积分来看，运动员A的成绩最为出色，而且表现最为稳定，
故预测A运动员获得最后的冠军，而运动员B和C平均分相同，但运动员C得分整体呈下降趋势，
所以预测运动员C将获得亚军．

点评 本题考查平均数、方差、古典概型等基本础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，是基础题．