Question

已知函数f（x）=

x2+2x+2

x

，x∈[1，3]，若f（x）＞2a对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：先利用基本不等式的性质，求出函数f（x）的最小值，再分离参数转化为a＜

1

2

f（x）对x∈[1，3]恒成立，问题得以解决．

解答： 解：∵x∈[1，3]，
∴f（x）=

x2+2x+2

x

=x+

2

x

+2≥2

x• 2 x

+2=2

2

+2，当且仅当x=

2

时取等号．
∵f（x）＞2a对x∈[1，3]恒成立，
∴a＜

1

2

f（x）对x∈[1，3]恒成立，
∴a＜

1

2

（2

2

+2）=

2

+1，
故实数a的取值范围为（-∞，

2

+1）．
故答案为：（-∞，

2

+1）．

点评：本题考查了函数恒成立的问题，分离参数，求出个某函数最值是常用的方法，还考查了基本不等式的性质，关键是不等式成立的条件，属于中档题．