题目内容
已知函数f（x）=2sinxcosx+2
cos2x-
，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）在锐角三角形ABC中，若f（A）=1，
•
=
，求△ABC的面积．
| 3 |
| 3 |
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）在锐角三角形ABC中，若f（A）=1，
| AB |
| AC |
| 2 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）三角函数问题一般都是要把三角函数转化为f（x）=Asin（ωx+φ）+k的形式，然后利用正弦函数的知识解决问题，本题中选用二倍角公式和降幂公式化简为f（x）=2sin（2x+
）．
（2）三角形的面积公式很多，具体地要选用哪个公式，要根据题意来确定，本题中已知
•
=2，而
•
=|
|•|
|•cosA，因此我们选面积公式S=
|
||
|sinA，正好由已知条件可求出A，从而得到面积．
| π |
| 3 |
（2）三角形的面积公式很多，具体地要选用哪个公式，要根据题意来确定，本题中已知
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
解答：
解：（1）f（x）=2sinxcosx+
(2cos2x-1)
=sin2x+
cos2x
=2sin（2x+
），
∴函数f（x）的最小正周期为π，
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，（k∈Z），
得kπ-
≤x≤kπ+
，(k∈Z)，
∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-
，kπ+
]（k∈Z），
（2）由已知，f（A）=2sin（2A+
）=1，
∴sin（2A+
）=
，
∵0＜A＜
，∴
＜2A+
＜
，
∴2A+
=
，从而A=
，
又∵
•
=|
||
|cosA=
，
∴|
||
|=2，
∴△ABC的面积S=
•|
|•|
|•sinA=
×2×
=
．
| 3 |
=sin2x+
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 3 |
∴函数f（x）的最小正周期为π，
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
得kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（2）由已知，f（A）=2sin（2A+
| π |
| 3 |
∴sin（2A+
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∵0＜A＜
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∴2A+
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 4 |
又∵
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| 2 |
∴|
| AB |
| AC |
∴△ABC的面积S=
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题考查三角函数的最小正周期和单调增区间的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要注意三角函数恒等式的灵活运用．
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