Question

20．已知$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinx-cosx，1）$，$\overrightarrow b=（cosx，m）$，函数f（x）=$\vec a•\vec b$（m∈R）的图象过点M（$\frac{π}{12}$，0）．
（Ⅰ）若x∈[0，π]，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若ccosB+bcosC=2acosB，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示和三角函数的二倍角公式及两角差的正弦公式，结合正弦函数的周期和增区间，解不等式即可得到所求；
（Ⅱ）运用正弦定理，结合两角和的正弦公式，化简可得角B，即有A的范围，可得（2A-$\frac{π}{6}$）的范围，结合正弦函数的图象和性质，可得所求范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=f（x）=$\vec a•\vec b$=cosx（$\sqrt{3}$sinx-cosx）+m
=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$（1+cos2x）+m
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+m-$\frac{1}{2}$，
由图象过点M（$\frac{π}{12}$，0），可得f（$\frac{π}{12}$）=0，
即有sin（$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）+m-$\frac{1}{2}$=0，解得m=$\frac{1}{2}$；
则f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，解得kπ-$\frac{π}{6}$＜x＜kπ+$\frac{π}{3}$，
可得f（x）的单调增区间为（kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$），k∈Z；
（Ⅱ）ccosB+bcosC=2acosB，
由正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosB，
即sin（C+B）=2sinAcosB，即sinA=2sinAcosB，
即有cosB=$\frac{1}{2}$，解得B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$，
即有0＜A＜$\frac{2π}{3}$，-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
则sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]．
即有f（A）的范围是（-$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查正弦定理的运用，三角函数的恒等变换公式的运用和正弦函数的周期，以及单调区间的运用，考查运算能力，属于中档题．