Question

10．已知函数f（x）=2^-x（4^x-m）是奇函数，g（x）=lg（10^x+1）+nx是偶函数
（1）求m+n的值；
（2）设h（x）=f（x）+g（x）+$\frac{1}{2}$x，试求h（x）在x∈[-1，2]时的最值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）是奇函数，且在x=0处有意义，得f（0）=0，解得m，g（x）是偶函数利用g（-x）=g（x）解得n，从而得m+n的值．
（2）由（1）可得h（x）=f（x）+g（x）+$\frac{1}{2}$x=2^x-2^-x+lg（10^x+1），且h（x）在[-1，2]为增函数，故可求出最值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2^-x（4^x-m）是奇函数且定义域为R，
∴f（0）=1-m=0，解得m=1
∵g（x）=lg（10^x+1）+nx是偶函数．
∴g（-x）=lg（10^-x+1）-nx=lg$\frac{1{0}^{X}+1}{1{0}^{X}}$-nx=lg（10^x+1）-x-nx=lg（10^x+1）-（n+1）x
=g（x）=lg（10^x+1）+nx，
∴n=-（n+1），∴n=-$\frac{1}{2}$，
∴m+n=$\frac{1}{2}$，
（2）由（1）可得（x）+1=2^-x（4^x-1）=2^x-2^-x，
g（x）=lg（10^x+1）-$\frac{1}{2}$x，
∴h（x）=f（x）+g（x）+$\frac{1}{2}$x=2^x-2^-x+lg（10^x+1），
∵h（x）在[-1，2]为增函数，
∴h（x）_max=h（2）=$\frac{15}{4}$+lg101，
h（x）_min=h（-1）=lg11-$\frac{5}{2}$

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，单调性的判断和运用，考查学生分析解决问题的能力．是中档题．