Question

9．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，AC₁与BD₁相交于点O，则有（　　）

• A． $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{A_1}{C_1}}={a^2}$
• B． $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{C_1}}=\sqrt{2}{a^2}$
• C． $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}$
• D． $\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{D{A_1}}={a^2}$

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量坐标运算、数量积运算性质即可判断出结论．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），
A₁（a，0，a），C₁（0，a，a），C（0，a，0），O$（\frac{a}{2}，\frac{a}{2}，\frac{a}{2}）$．
A.$\overrightarrow{AB}$=（0，a，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-a，a，0），$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=a²，正确．
B.$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-a，a，a），∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=a²，因此不正确．
C.$\overrightarrow{AO}$=$（-\frac{a}{2}，\frac{a}{2}，\frac{a}{2}）$，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}$=$\frac{{a}^{2}}{2}$，因此不正确．
D.$\overrightarrow{BC}$=（-a，a，0），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（a，0，a），
∴$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=-a²，因此不正确．
故选：A．

点评 本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．