Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且f（0）≠0，f（

1

2

）=0
（1）求证：f（x）是偶函数
（2）求挣：f（x）是周期函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令y=0化简f（x）+f（x）=2f（x）f（0）可求得f（0）=1；再令x=0求得f（y）=f（-y）；从而证明；
（2）令y=

1

2

可得f（x+

1

2

）+f（x-

1

2

）=0；从而可得f（x）=-f（x+1）；从而证明．

解答： 证明：（1）令y=0；
则f（x）+f（x）=2f（x）f（0），
故2f（x）（f（0）-1）=0；
故f（0）=1；
令x=0得，
f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），
故f（y）=f（-y）；
又∵其定义域为R；
故f（x）是偶函数．
（2）令y=

1

2

得，
f（x+

1

2

）+f（x-

1

2

）=2f（x）f（

1

2

），
故f（x+

1

2

）+f（x-

1

2

）=0；
故f（x）=-f（x+1）；
故f（x）=-f（x+1）=-（-f（x+2））=f（x+2）；
故f（x）的周期为2，即f（x）是周期函数．

点评：本题考查了抽象函数的性质的判断与证明，属于中档题．