Question

已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）．
（Ⅰ）当ω=1时，函数y=f（x）经过怎样的变换得到函数y=sin（2x+

π

6

），请写出变化过程；
（Ⅱ）若y=f（x）图象过（

2π

3

，0）点，且在区间（0，

π

3

）上是增函数，求ω的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）当ω=1时，函数f（x）=sinx，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．
（II）由f（x）的图象过（

2π

3

，0）点，得sin

2π

3

ω=0，ω=

3

2

k，当k=1时，ω=

3

2

，检验满足条件；当k≥2时，ω≥3，f（x）在（0，

π

3

）上不是增函数，从而求得ω的值．

解答： 解：（Ⅰ）当ω=1时，函数f（x）=sinx，把f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，可得f（x）=sin（x+

π

6

）的图象，
再保持每点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，可得函数y=sin（2x+

π

6

）的图象．
（II）由f（x）的图象过（

2π

3

，0）点，得sin

2π

3

ω=0，所以

2π

3

ω=kπ，k∈z．
即ω=

3

2

k，当k=1时，ω=

3

2

，f（x）=sin

3

2

x，其周期为

4π

3

，此时f（x）在（0，

π

3

）上是增函数．
当k≥2时，ω≥3，f（x）=sinωx的周期为

2π

ω

≤

2π

3

＜

4π

3

，
此时f（x）在（0，

π

3

）上不是增函数，故只有ω=

3

2

．

点评：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．