Question

已知函数f（x）=x+

9

x

（1）判断函数的奇偶性；
（2）求证：函数f（x）在区间[3，+∞）上是单调增函数；
（3）利用函数f（x）的性质，求函数f（x）在[-6，-3]上的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在区间[3，+∞）上是单调增函数；
（3）根据函数奇偶性和单调性的性质即可求函数f（x）在[-6，-3]上的值域．

解答： 解：（1）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则f（-x）=-x-

9

x

=-（x+

9

x

）=-f（x），
则函数为减函数；
（2）设3≤x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+

9

x1

-x₂-

9

x2

=（x₁-x₂）•（

x1x2-9

x1x2

），
∵3≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞3，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函数f（x）在区间[3，+∞）上是单调增函数；
（3）∵函数f（x）是奇函数，且在区间[3，+∞）上是单调增函数，
∴函数f（x）在[-6，-3]上也为增函数，
∴f（-6）≤f（x）≤f（-3），
即-

15

2

≤f（x）≤-6，
故函数f（x）在[-6，-3]上的值域为[-

15

2

，-6]．

点评：本题主要考查函数奇偶性，单调性和值域的性质考查，综合考查函数的性质，要求熟练掌握相应的定义法进行证明和判断．