Question

在直角坐标系中，定义两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．现有下列命题：
①已知P（1，3），Q（sin²α，cos²α）（α∈R），则d（P，Q）为定值；
②原点O到直线x-y+1=0上任一点P的直角距离d（O，P）的最小值为

2

2

；
③若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|≥

2

2

d（P，Q）；
④设A（x，y）且x∈Z，y∈Z，若点A是在过P（1，3）与Q（5，7）的直线上，且点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点A只有5个．
其中的真命题是

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,新定义,推理和证明

分析：先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．

解答： 解：①已知P（1，3），Q（sin²α，cos²α）（α∈R），则d（P，Q）=|1-sin^2α|+|3-cos²α|=cos²α+2+sin²α=3为定值，正确；
②设P（x，y），O（0，0），则d（0，P）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x|+|y|=|x|+|x+1|，表示数轴上的x到1和0的距离之和，其最小值为1，故不正确；
③若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，因为2（a²+b²）≥（a+b）²，所以|PQ|≥

2

2

d（P，Q），正确；
④过P（1，3）与Q（5，7）的直线方程为y=x+2，点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，则|x-1|+|y-3|+|x-5|+|y-7|=2|x-1|+2|x-5|=8，所以|x-1|+|x-5|=4，所以1≤x≤5，因为x∈Z，所以x=1，2，3，4，5，所以满足条件的点A只有5个，正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查两点之间的“直角距离”的定义，绝对值的意义，关键是明确P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）两点之间的“直角距离”的含义．