Question

19．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），f（x）=$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的取值集合；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的解析式，并利用辅助角（和差角）公式化为正弦型函数，可得函数f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的取值集合；
（2）根据（1）中函数解析式，结合正弦函数的单调性，可得f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{2}$sinx+$\sqrt{2}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{4}$），
当x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x|x=2kπ+$\frac{π}{4}$（k∈Z）时，y_max=2．
∴f（x）_max=2，x∈{x|x=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z}．…（6分）
（2）当2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，函数f（x）单调递增，
解得2kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$（k∈Z），
所以函数f（x）的单调递增区间为[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]（k∈Z）．…（12分）

点评 本题考查的知识点是三角函数的恒等变量，三角函数的图象和性质，平面向量的数量积运算，难度中档．