Question

关于曲线C：

x2

4

+y4=1，给出下列四个结论：
①曲线C是椭圆；              
②关于坐标原点中心对称；
③关于直线y=x轴对称；      
④所围成封闭图形面积小于8．
则其中正确结论的序号是

 

．（注：把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①根据椭圆的方程判断曲线C：

x2

4

+y4=1不是椭圆；
②把曲线C中的（x，y ）同时换成（-x，-y ），判断曲线C是否关于原点对称；
③把曲线C中的（x，y ）同时换成（y，x ），判断曲线C是否关于直线y=x对称；
④根据|x|≤2，|y|≤1，判断曲线C：

x2

4

+y4=1所围成的封闭面积是否小于8．

解答： 解：对于①，∵曲线C：

x2

4

+y4=1，不是椭圆方程，∴曲线C不是椭圆，∴①错误；
对于②，把曲线C中的（x，y ）同时换成（-x，-y ），方程不变，∴曲线C关于原点对称，②正确；
对于③，把曲线C中的（x，y ）同时换成（y，x ），方程变为

y2

4

+x⁴=1，∴曲线C不关于直线y=x对称，③错误；
对于④，∵|x|≤2，|y|≤1，∴曲线C：

x2

4

+y4=1所围成的封闭面积小于4×2=8，∴④正确．
综上，正确的命题是②④．
故答案为：②④．

点评：本题考查了方程所表示的曲线以及曲线的对称性问题，解题时应结合圆锥曲线的定义域性质进行解答，是基础题．