已知函数f(x)=$\frac{lnx}{x}$.g(x)=$\frac{m}{x}$+$\frac{1}{2}$．(Ⅰ)当m=1时.求曲线y=g(x)在x=1处的切线方程,的单调区间并比较2017${\;}^{\frac{1}{2017}}$与2016${\;}^{\frac{1}{2016}}$的大小,(Ⅲ)若对于任意正实数b.关于x的不等式bf在区间[1.e]上恒成立.求实数m的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=$\frac{m}{x}$+$\frac{1}{2}$（m∈R）．
（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=g（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间并比较2017${\;}^{\frac{1}{2017}}$与2016${\;}^{\frac{1}{2016}}$的大小；
（Ⅲ）若对于任意正实数b，关于x的不等式bf（x）＞g（x）在区间[1，e]上恒成立，求实数m的取值范围．（其中e=2.71828…）

分析（Ⅰ）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求出切线方程，
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可，根据函数的单调性判断即可；
（Ⅲ）原不等式转化为blnx＞m+$\frac{x}{2}$在区间[1，e]上恒成立，显然该函数在[1，e]上单调递增，从而最小值为0，从而要满足条件，只需m+$\frac{x}{2}$＜0，从而得到-$\frac{x}{2}$＞m，同样的办法求在[1，e]上的最小值，只要该最小值大于m，从而可求出m的取值范围

解答解：（Ⅰ）当m=1时，g（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$，
∴g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴k=g′（1）=-1，g（1）=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴曲线y=g（x）在x=1处的切线方程为y-$\frac{3}{2}$=-（x-1），即2x+2y-5=0，
（Ⅱ）∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，解得x=e，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x＞e时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∵2017＞2016，
∴$\frac{ln2017}{2017}$＜$\frac{ln2016}{2016}$，
即ln2017${\;}^{\frac{1}{2017}}$＜ln2016${\;}^{\frac{1}{2016}}$，
∴2017${\;}^{\frac{1}{2017}}$＜2016${\;}^{\frac{1}{2016}}$，
（Ⅲ）对于任意正实数b，关于x的不等式bf（x）＞g（x）在区间[1，e]上恒成立，
∴bxf（x）＞xg（x），
即blnx＞m+$\frac{x}{2}$在区间[1，e]上恒成立，
当b＞0，∴函数blnx在[1，e]上单调递增；
∴x=1时，函数blnx取最小值0；
∴m+$\frac{x}{2}$＜0，
∴-$\frac{x}{2}$＞m在x∈[1，e]上恒成立；-$\frac{x}{2}$在[1，e]上的最小值为-$\frac{e}{2}$；
∴-$\frac{e}{2}$＞m，即m＜-$\frac{e}{2}$
∴实数m的取值范围为（-∞，-$\frac{e}{2}$）．