Question

若公比为q（q＜0）的等比数列{a_n}的首项a₁=-

1

2

，且满足a_n=

an-1+an-2

2

（n≥3）
（Ⅰ）求公比q的值；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n+1²，求数列{

bn

2n+1

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）an=

an-1+an-2

2

 (n≥3)∴an-2•q2=

an-2(q+1)

2

即2q²-q-1=0解得即可；
（Ⅱ）∴bn=log2

a

2 n+1

=log2(

1

4

)n+1=-2(n+1)，利用错位相减法求和即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵an=

an-1+an-2

2

 (n≥3)∴an-2•q2=

an-2(q+1)

2

…（2分）
即2q²-q-1=0解得q=-

1

2

或q=1，
∵q＜0，∴q=-

1

2

…（5分）
（Ⅱ）∵a1=-

1

2

∴an=(-

1

2

)n，
∴bn=log2

a

2 n+1

=log2(

1

4

)n+1=-2(n+1)…（7分）
则

bn

2n+1

=

-(n+1)

2n

…（8分）
Sn=-[

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

]
∴

1

2

Sn=-[

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

]
∴

1

2

Sn=-[1+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

-

n+1

2n+1

]=-[1+

1 4 (1-( 1 2 )n-1)

1- 1 2

-

n+1

2n+1

]=-(

3

2

-

n+3

2n+1

)，…（11分）
∴Sn=-3+

n+3

2n

…（12分）

点评：本题主要考查等比数列的定义及性质，考查学生利用错位相减法对数列求和的能力及运算求解能力，属中档题．