Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PD⊥面ABC于点D，且点D在AC上，PA=PB=PC=3，设AB=BC=2

3

，求AC与平面BPC所成角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与平面BPC所成角．

解答： 解：∵在三棱锥P-ABC中，PD⊥面ABC于点D，
且点D在AC上，PA=PB=PC=3，设AB=BC=2

3

，
∴D是AC中点，且BD⊥AC，∠ABC=90°，
DA=DB=DC=

1

2

(2 3 )2+(2 3 )2

=

6

，PD=

32-( 6 )2

=

3

，
以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（0，-

6

，0），C（0，

6

，0），
B（

6

，0，0），P（0，0，

3

），

AC

=（0，2

6

，0），

PB

=(

6

，0，-

3

)，

PC

=（0，

6

，-

3

），
设平面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PB = 6 x- 3 z=0 n • PC = 6 y- 3 z=0

，
取x=1，得

n

=（1，1，

2

），
设AC与平面BPC所成角为θ，
∴sinθ=|cos＜

AC

，

n

＞|=|

2 6

2 6 • 4

|=

1

2

，
∴AC与平面BPC所成角为30°．

点评：本题考查直线与平面所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．