Question

已知向量

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），设函数f（x）=

m

•

n

+1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（2）若x∈[0，

π

2

]，f（x）=

11

10

，求cosx值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（1）由向量和三角函数的运算可得f（x）=sin（x-

π

6

）+

1

2

，由2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

解不等式可得单调递增区间，同理可得单调递减区间；
（2）由已知可得sin（x-

π

6

）=

3

5

，进而可得cos（x-

π

6

）=

4

5

，代入cosx=

3

2

cos（x-

π

6

）-

1

2

sin（x-

π

6

）计算可得．

解答： 解：（1）∵

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），
∴f（x）=

m

•

n

+1=

3

sin

x

2

cos

x

2

-cos²

x

2

+1
=

3

2

sinx-

1

2

cosx+

1

2

=sin（x-

π

6

）+

1

2

，
由2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可得2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

，
∴f（x）的单调递增区间为：[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]，k∈Z，
同理可得单调递减区间为：[2kπ+

2π

3

，2kπ+

5π

3

]，k∈Z，
（2）由（1）知f（x）=sin（x-

π

6

）+

1

2

=

11

10

，
∴sin（x-

π

6

）=

3

5

，又∵x∈[0，

π

2

]，
∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，∴cos（x-

π

6

）=

4

5

，
∴cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]
=

3

2

cos（x-

π

6

）-

1

2

sin（x-

π

6

）
=

3

2

×

4

5

-

1

2

×

3

5

=

4 3 -3

10

点评：本题考查三角函数的恒等变换，涉及向量的数量积和三角函数的单调性，属中档题．