Question

已知函数f（x）=|x+3|-|x-2|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若f（x）≥|a-4|有解，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：①运用零点分区间，讨论当x≥2，当-3＜x＜2时，当x≤-3时，去绝对值解不等式，最后求并集即可得到；
②运用绝对值不等式，即有||x+3|-|x-2||≤|（x+3）-（x-2）|=5，则-5≤|x+3|-|x-2|≤5，f（x）≥|a-4|有解，即为|a-4|≤5，解不等式即可得到范围．

解答： 解：①当x≥2，则f（x）=x+3-（x-2）=5≥3成立，则有x≥2；
当-3＜x＜2时，f（x）=x+3-（2-x）=2x+1≥3，解得，x≥1，则有1≤x＜2；
当x≤-3时，f（x）=-x-3-（2-x）=-5≥3不成立，则x∈∅．
则不等式f（x）≥3的解集为{x|x≥2或1≤x＜2}={x|x≥1}；
②由于||x+3|-|x-2||≤|（x+3）-（x-2）|=5，
则-5≤|x+3|-|x-2|≤5，
f（x）≥|a-4|有解，即为|a-4|≤5
即有-5≤a-4≤5，
解得，-1≤a≤9，
则实数a的取值范围为[-1，9]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式有解问题等价为求函数最值问题，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．