Question

4．已知方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{s}{t}}\\{y=t-\frac{s}{t}}\end{array}\right.$（s，t∈R，且s＞0，t＞0）．若以s为常数、t为参数的方程表示曲线C₁；以t为常数、s为参数的方程表示曲线C₂，那么C₁，C₂依次为双曲线，直线．

Answer 1

分析 当s为常数，t为参数时，将两式平方相减得出C₁普通方程，当t为常数、s为参数时，将两式相加得出C₂的普通方程，根据普通方程的类型判断．

解答 解：（1）若s为常数、t为参数，
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{s}{t}}\\{y=t-\frac{s}{t}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}={t}^{2}+\frac{{s}^{2}}{{t}^{2}}+2s}\\{{y}^{2}={t}^{2}+\frac{{s}^{2}}{{t}^{2}}-2s}\end{array}\right.$，
∴x²-y²=4s，即$\frac{{x}^{2}}{4s}-\frac{{y}^{2}}{4s}=1$．
∴C₁表示双曲线．
（2）t为常数、s为参数，
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{s}{t}}\\{y=t-\frac{s}{t}}\end{array}\right.$，
∴x+y=2t，
∴C₂表示直线．
故答案为：双曲线，直线．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，属于中档题．