题目内容
8．已知递增数列{an}满足：a1a4=18，a2+a3=9．（1）若{an}是等差数列，求{an}通项；
（2）若{an}是等比数列，求{an}前n项和Sn．
分析 （1）若{an}是等差数列由a1a4=18，a2+a3=a1+a4=9，得a1和a4是方程x2-9x+18=0的两个根，解方程x2-9x+18=0，得a1=3，a4=6，由此能求出{an}通项．
（2）若{an}是等比数列，由a1a4=a2a3=18，a2+a3=9，得a2和a3是方程x2-9x+18=0的两个根，解方程x2-9x+18=0，得a2=3，a3=6，由此能求出{an}前n项和Sn．
解答 解：（1）若{an}是等差数列，设公差为d，
由数列{an}递增可得d＞0，
∵a1a4=18，a2+a3=a1+a4=9．
∴a1和a4是方程x2-9x+18=0的两个根，
解方程x2-9x+18=0，得x1=3，x2=6，
∵d＞0，∴a1=3，a4=6，$d=\frac{6-3}{4-1}$=1，
∴an=3+（n-1）×1=n+2．
∴{an}通项an=n+2．
（2）若{an}是等比数列，设公比为q，
∵a1a4=a2a3=18，a2+a3=9，
∴a2和a3是方程x2-9x+18=0的两个根，
解方程x2-9x+18=0，得x1=3，x2=6，
∵递增数列{an}中q＞0，
∴a2=3，a3=6，q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{6}{3}$=2，${a}_{1}=\frac{{a}_{2}}{q}=\frac{3}{2}$，
∴{an}前n项和Sn=$\frac{\frac{3}{2}（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{3}{4}（{3}^{n}-1）$．
点评 本题考查等差数列的通项公式和等比数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．
练习册系列答案
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