Question

11．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l与曲线C分别交于M，N两点．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标转化为普通方程求解
（2）把参数表达式代入曲线C得出普通方程，利用韦达定理求解得出即可．

解答 解：（1）ρsin²θ=2acosθ可变为ρ²sin²θ=2aρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=2ax．
直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+tcos\frac{π}{4}}\\{y=-4+tsin\frac{π}{4}}\end{array}}\right.（t为参数）⇒\begin{array}{l}{x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t，}\\{y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t，}\end{array}（t为参数）$．
（2）将直线l的参数表达式代入曲线C得$\frac{1}{2}{t^2}-（4\sqrt{2}+\sqrt{2}a）t+16+4a=0$，
∴${t_1}+{t_2}=8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a，{t_1}{t_2}=32+8a$．
又|PM|=|t₁|，|PN|=|t₂|，|MN|=|t₁-t₂|，
由题意知，|t₁-t₂|²=|t₁t₂|，（t₁+t₂）²=5t₁t₂，
代入解得a=1．

点评 本题考查了参数，极坐标方程的运用，转化为普通方程求解，属于容易题．