Question

19．已知f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx（a∈R）．
（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）研究y=f（x）在定义域内的单调性；
（3）如果f（x）≥0在定义域内恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义即可求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程，
（2）先求出函数的导函数，再分类讨论，即可判断函数的单调性，
（3）分离参数，构造函数g（x）=-xlnx，根据导数求出函数的最大值，问题得以解决．

解答 解：（1）a=3时，f（x）=$\frac{3}{x}$+lnx，
∴f′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=-3+1=-2，f（1）=3，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-3=-2（x-1），即为y=-2x+5；
（2）∵${f^'}（x）=-\frac{a}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-a}{x^2}$，
当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上递增，
当a＞0时，f（x）在（a，+∞）上递增，在（0，a）上递减．
（3）∵f（x）≥0在定义域内恒成立，
∴a≥-xlnx对x∈（0，+∞）恒成立，
设g（x）=-xlnx，
∴g′（x）=-lnx-1，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$，
当g′（x）＞0时，解得0＜x＜$\frac{1}{e}$，函数g（x）单调递增，
当g′（x）＜0时，解得x＞$\frac{1}{e}$，函数g（x）单调递减，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，
∴a≥$\frac{1}{e}$，
故a的取值范围为[$\frac{1}{e}$，+∞）．

点评 本题考查了切线方程和函数的单调性以及函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，属于中档题．