Question

4．已知$\sqrt{3}$sinx+3cosx=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，则tan（$\frac{7π}{6}$-x）等于（　　）

• A． ±$\frac{\sqrt{7}}{3}$
• B． $±\frac{3}{4}$
• C． ±$\frac{\sqrt{7}}{4}$
• D． $±\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 利用两角和的正弦函数公式，诱导公式化简已知等式可得cos（$\frac{π}{6}$-x），利用同角三角函数基本关系式可求sin（$\frac{π}{6}$-x）的值，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．

解答 解：∵$\sqrt{3}$sinx+3cosx=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
⇒2（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=$\frac{3}{2}$，
⇒sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{4}$，
⇒sin（x+$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{4}$，
⇒cos（$\frac{π}{6}$-x）=$\frac{3}{4}$，
⇒sin（$\frac{π}{6}$-x）=±$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{6}-x）}$=±$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴tan（$\frac{7π}{6}$-x）=tan（$\frac{π}{6}$-x）=$\frac{sin（\frac{π}{6}-x）}{cos（\frac{π}{6}-x）}$=±$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．