Question

6．已知函数$f（x）=\sqrt{|{x+2}|+|{x-4}|-m}$的定义域为R．
（Ⅰ）求实数m的范围；
（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足$\frac{4}{a+5b}+\frac{1}{3a+2b}=n$时，求4a+7b的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用绝对值不等式的性质即可得出．
（II）利用柯西不等式的性质即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，|x+2|+|x-4|≥|（x+2）-（x-4）|=6，∴m≤6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知n=6，由柯西不等式知，4a+7b=$\frac{1}{6}（4a+7b）（\frac{4}{a+5b}+\frac{1}{3a+2b}）$=$\frac{1}{6}[（a+5b）+（3a+2b）]$$（\frac{4}{a+5b}+\frac{1}{3a+2b}）≥\frac{3}{2}$，当且仅当$a=\frac{1}{26}，b=\frac{5}{26}$时取等号，∴4a+7b的最小值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了绝对值不等式的性质、柯西不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．