Question

14．某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理．现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．
（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕17个，设当天的需求量为n（n∈N），则当天的利润y（单位：元）是多少？
（2）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．
①求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n的函数解析式；
②求当天的利润不低于600圆的概率．
（3）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？

Answer 1

分析 （1）当n≥17时，Y=17×（100-50）=850，当n≤16时，Y=100n-17×50=100n-850，由此能求出结果．
（2）①由（1）能求出当天的利润Y关于当天需求量n的函数解析式．②设“当天利润不低于600”为事件A，“当天利润不低于600”等价于“需求量不低于15个，由此能求出当天的利润不低于600元的概率．
（3）求出一天制作16个蛋糕和平均利润和一天制作17个蛋糕的平均利润，从而得到蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．

解答 解：（1）当n≥17时，Y=17×（100-50）=850，
当n≤16时，Y=100n-17×50=100n-850，
∴当天的利润y=$\left\{\begin{array}{l}{850，n≥17}\\{100n-850，n≤16}\end{array}\right.$．n∈N．
（2）①由（1）得当天的利润Y关于当天需求量n的函数解析式为：
$Y=\left\{\begin{array}{l}100n-850（n≤16）\\ 850（n≥17）\end{array}\right.（n∈N）$
②设“当天利润不低于600”为事件A，由①知，“当天利润不低于600”等价于
“需求量不低于15个”∴$P（A）=1-\frac{12}{100}=\frac{22}{25}$
所以当天的利润不低于600元的概率为：$\frac{22}{25}$
（3）若一天制作16个蛋糕，则平均利润为：
$\overline{x_1}=\frac{1}{100}（600×12+700×18+800×70）=758$；
若一天制作17个蛋糕，则平均利润为：
$\overline{x_2}=\frac{1}{100}（550×12+650×18+750×18+850×52）=760$，
∵$\overline{x_1}＜\overline{x_2}$，∴蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．

点评 本题考查函数解析式、概率、平均数的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．